福师《实变函数》在线作业二
共50道题 总分：100分
一、判断题(共37题，74分)
1.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A、错误
B、正确
2.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A、错误
B、正确
3.零测度集的任何子集都是可测集.
A、错误
B、正确
4.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A、错误
B、正确
5.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A、错误
B、正确
6.f∈BV，则f几乎处处可微，且f’∈L1[a,b].
A、错误
B、正确
7.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A、错误
B、正确
8.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A、错误
B、正确
9.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A、错误
B、正确
10.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A、错误
B、正确
11.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A、错误
B、正确
12.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A、错误
B、正确
13.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A、错误
B、正确
14.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A、错误
B、正确
15.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A、错误
B、正确
16.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
17.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A、错误
B、正确
18.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A、错误
B、正确
19.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A、错误
B、正确
20.若f∈Lip[a,b],则f∈AC[a,b].
A、错误
B、正确
21.若f∈BV,则f有界。
A、错误
B、正确
22.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.
A、错误
B、正确
23.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A、错误
B、正确
24.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
A、错误
B、正确
25.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A、错误
B、正确
26.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A、错误
B、正确
27.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A、错误
B、正确
28.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A、错误
B、正确
29.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A、错误
B、正确
30.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A、错误
B、正确
31.测度为零的集称为零测集.
A、错误
B、正确
32.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A、错误
B、正确
33.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A、错误
B、正确
34.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
35.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A、错误
B、正确
36.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A、错误
B、正确
37.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A、错误
B、正确
二、单选题(共5题，10分)
1.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
2.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A、Ac为稠集
B、A为开集
C、A为孤立点集
D、A不完备
3.若f∈L(X),则
A、f在X上几乎处处连续
B、存在g∈L(X)使得|f|<=g
C、若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
4.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A、mE=0
B、0<mE<+∞
C、mE=+∞
D、0<=mE<=+∞
5.开集减去闭集其差集是（ ）
A、闭集
B、开集
C、非开非闭集
D、既开既闭集
三、多选题(共8题，16分)
1.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A、f可测
B、|f|可积
C、f^2可积
D、|f|<∞.a.e.
2.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A、m(A)<m(B)
B、m(A)<=m(B)
C、m(B\A)=m(A)
D、m(B)=m(A)+m(B\A)
3.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A、广义R可积
B、不是广义R可积
C、L可积
D、不是L可积
4.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A、几乎处处可微
B、L可积
C、f’可积
D、区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
5.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A、g可积
B、g可测
C、g<∞，a.e.
D、当g可测时g必可积
6.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A、有L积分值
B、广义R可积
C、L可积
D、积分具有绝对连续性
7.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A、有界函数
B、可测函数
C、有界变差函数
D、绝对连续函数
8.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B、若E1包含于E2,mE1<=mE2
C、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
福师《实变函数》在线作业二
共50道题 总分：100分
一、判断题(共37题，74分)
1.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A、错误
B、正确
2.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A、错误
B、正确
3.设f是区间[a,b]上的有界实函数，则f在[a,b]上R可积，当且仅当f在[a,b]上几乎处处连续.
A、错误
B、正确
4.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
5.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
6.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A、错误
B、正确
7.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A、错误
B、正确
8.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A、错误
B、正确
9.可数集的测度必为零，反之也成立.
A、错误
B、正确
10.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A、错误
B、正确
11.三大积分收敛定理包括Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理。
A、错误
B、正确
12.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A、错误
B、正确
13.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A、错误
B、正确
14.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A、错误
B、正确
15.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A、错误
B、正确
16.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A、错误
B、正确
17.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A、错误
B、正确
18.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A、错误
B、正确
19.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A、错误
B、正确
20.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A、错误
B、正确
21.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A、错误
B、正确
22.对R^n中任意点集E，E\E’必为可测集.
A、错误
B、正确
23.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A、错误
B、正确
24.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A、错误
B、正确
25.f可积的充要条件:|f|可积。
A、错误
B、正确
26.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
27.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A、错误
B、正确
28.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A、错误
B、正确
29.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A、错误
B、正确
30.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
A、错误
B、正确
31.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A、错误
B、正确
32.f∈BV，则f几乎处处可微，且f’∈L1[a,b].
A、错误
B、正确
33.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A、错误
B、正确
34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A、错误
B、正确
35.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
A、错误
B、正确
36.若f∈BV,则f有界。
A、错误
B、正确
37.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A、错误
B、正确
二、单选题(共5题，10分)
1.若f∈L(X),则
A、f在X上几乎处处连续
B、存在g∈L(X)使得|f|<=g
C、若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.
2.开集减去闭集其差集是（ ）
A、闭集
B、开集
C、非开非闭集
D、既开既闭集
3.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
4.fn->f,a.e.,则
A、fn依测度收敛于f
B、fn几乎一致收敛于f
C、fn一致收敛于f
D、|fn|->|f|,a.e.
5.下列关系式中不成立的是（ ）
A、f(∪Ai)=∪f(Ai)
B、f∩(Ai)=f(∩Ai)
C、(A∩B)0=A0∩B0
D、(∪Ai)c=∩(Aic)
三、多选题(共8题，16分)
1.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A、是L可测函数
B、不是L可测函数
C、有界函数
D、连续函数
2.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A、f可测
B、|f|可积
C、f^2可积
D、|f|<∞.a.e.
3.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A、f在R上处处不连续
B、f在R上为可测函数
C、f几乎处处连续
D、f不是可测函数
4.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A、g可积
B、g可测
C、g<∞，a.e.
D、当g可测时g必可积
5.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A、fn测度收敛于|f|
B、afn+bgn测度收敛于af+bg
C、(fn)^2测度收敛于f^2
D、fngn测度收敛于fg
6.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A、f^-1(f（A）)=A
B、f^-1(f（A）)包含A
C、f(f^-1（A）)=A
D、f(A\B)包含f(A)\f(B)
7.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A、f+g不可测
B、fg不可测
C、g^2可测
D、|g|可测
8.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A、f+g有界变差函数
B、fg有界变差函数
C、f/g有界变差函数
D、max(f,g)有界变差函数
福师《实变函数》在线作业二
共50道题 总分：100分
一、判断题(共37题，74分)
1.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A、错误
B、正确
2.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A、错误
B、正确
3.若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，a.e.,n=1,2,…,则f<=g,a.e.
A、错误
B、正确
4.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A、错误
B、正确
5.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A、错误
B、正确
6.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A、错误
B、正确
7.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A、错误
B、正确
8.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
A、错误
B、正确
9.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A、错误
B、正确
10.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A、错误
B、正确
11.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A、错误
B、正确
12.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A、错误
B、正确
13.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A、错误
B、正确
14.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A、错误
B、正确
15.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
16.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A、错误
B、正确
17.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A、错误
B、正确
18.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
A、错误
B、正确
19.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A、错误
B、正确
20.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A、错误
B、正确
21.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A、错误
B、正确
22.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A、错误
B、正确
23.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A、错误
B、正确
24.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A、错误
B、正确
25.可数集的测度必为零，反之也成立.
A、错误
B、正确
26.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A、错误
B、正确
27.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A、错误
B、正确
28.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A、错误
B、正确
29.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A、错误
B、正确
30.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A、错误
B、正确
31.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A、错误
B、正确
32.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A、错误
B、正确
33.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A、错误
B、正确
34.零测度集的任何子集都是可测集.
A、错误
B、正确
35.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A、错误
B、正确
36.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A、错误
B、正确
37.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A、错误
B、正确
二、单选题(共5题，10分)
1.fn->f,a.e.,则
A、fn依测度收敛于f
B、fn几乎一致收敛于f
C、fn一致收敛于f
D、|fn|->|f|,a.e.
2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、非充分非必要条件
3.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A、连续函数
B、单调函数
C、有界变差函数
D、绝对连续函数
4.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A、Ac为稠集
B、A为开集
C、A为孤立点集
D、A不完备
5.有限个可数集的乘积集是（ ）
A、有限集
B、可数集
C、有连续统势的集
D、基数为2^c的集
三、多选题(共8题，16分)
1.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A、f为有界函数
B、Vax(f)为增函数
C、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D、f至多有可数个第一类间断点
2.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A、是L可测函数
B、不是L可测函数
C、有界函数
D、连续函数
3.若f∈AC[a,b]，则（ ）
A、f∈C[a,b]
B、f∈BV[a,b]
C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt
D、f∈Lip[a,b]
4.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A、f在R上处处不连续
B、f在R上为可测函数
C、f几乎处处连续
D、f不是可测函数
5.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A、f+g不可测
B、fg不可测
C、g^2可测
D、|g|可测
6.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A、几乎处处可微
B、L可积
C、f’可积
D、区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
7.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A、f+g有界变差函数
B、fg有界变差函数
C、f/g有界变差函数
D、max(f,g)有界变差函数
8.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A、有界函数
B、可测函数
C、有界变差函数
D、绝对连续函数
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