福师《实变函数》在线作业一

共50道题 总分：100分

一、判断题(共37题，74分)

1.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。

A、错误

B、正确

2.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

3.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.

A、错误

B、正确

4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。

A、错误

B、正确

5.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.

A、错误

B、正确

6.f可积的充要条件:|f|可积。

A、错误

B、正确

7.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

A、错误

B、正确

8.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.

A、错误

B、正确

9.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax

A、错误

B、正确

10.f可积的充要条件是f+和f-都可积.

A、错误

B、正确

11.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.

A、错误

B、正确

12.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。

A、错误

B、正确

13.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.

A、错误

B、正确

14.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.

A、错误

B、正确

15.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

A、错误

B、正确

16.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。

A、错误

B、正确

17.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

A、错误

B、正确

18.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．

A、错误

B、正确

19.零测度集的任何子集都是可测集.

A、错误

B、正确

20.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

A、错误

B、正确

21.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.

A、错误

B、正确

22.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

A、错误

B、正确

23.若f可测，则|f|可测，反之也成立.

A、错误

B、正确

24.可数集的测度必为零，反之也成立.

A、错误

B、正确

25.对R^n中任意点集E，E\E’必为可测集.

A、错误

B、正确

26.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

A、错误

B、正确

27.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.

A、错误

B、正确

28.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。

A、错误

B、正确

29.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.

A、错误

B、正确

30.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。

A、错误

B、正确

31.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

A、错误

B、正确

32.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].

A、错误

B、正确

33.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.

A、错误

B、正确

34.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

A、错误

B、正确

35.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.

A、错误

B、正确

36.f∈BV，则f几乎处处可微，且f’∈L1[a,b].

A、错误

B、正确

37.若f∈BV,则f有界。

A、错误

B、正确

二、单选题(共5题，10分)

1.若|A|=|B|,|C|=|D|,则

A、|A∪C|=|B∪D|

B、|A∩C|=|B∩D|

C、|A\C|=|B\D|

D、当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|

2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、非充分非必要条件

3.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A、连续函数

B、单调函数

C、有界变差函数

D、绝对连续函数

4.开集减去闭集其差集是（ ）

A、闭集

B、开集

C、非开非闭集

D、既开既闭集

5.若A为R^n中一疏集，则（ ）

A、Ac为稠集

B、A为开集

C、A为孤立点集

D、A不完备

三、多选题(共8题，16分)

1.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）

A、m(A)<m(B)

B、m(A)<=m(B)

C、m(B\A)=m(A)

D、m(B)=m(A)+m(B\A)

2.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）

A、几乎处处可微

B、L可积

C、f’可积

D、区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)

3.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）

A、fn测度收敛于|f|

B、afn+bgn测度收敛于af+bg

C、(fn)^2测度收敛于f^2

D、fngn测度收敛于fg

4.若0<=g<=f且f可积，则（ ）

A、g可积

B、g可测

C、g<∞，a.e.

D、当g可测时g必可积

5.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上

A、有L积分值

B、广义R可积

C、L可积

D、积分具有绝对连续性

6.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是

A、是L可测函数

B、不是L可测函数

C、有界函数

D、连续函数

7.若f∈AC[a,b]，则（ ）

A、f∈C[a,b]

B、f∈BV[a,b]

C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt

D、f∈Lip[a,b]

8.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）

A、有界函数

B、可测函数

C、有界变差函数

D、绝对连续函数

福师《实变函数》在线作业一

共50道题 总分：100分

一、判断题(共37题，74分)

1.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

A、错误

B、正确

2.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.

A、错误

B、正确

3.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测

A、错误

B、正确

4.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

A、错误

B、正确

5.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

6.若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.

A、错误

B、正确

7.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。

A、错误

B、正确

8.利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。

A、错误

B、正确

9.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.

A、错误

B、正确

10.若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.

A、错误

B、正确

11.若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.

A、错误

B、正确

12.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.

A、错误

B、正确

13.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

A、错误

B、正确

14.积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分.

A、错误

B、正确

15.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。

A、错误

B、正确

16.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。

A、错误

B、正确

17.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

A、错误

B、正确

18.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .

A、错误

B、正确

19.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.

A、错误

B、正确

20.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.

A、错误

B、正确

21.连续函数和单调函数都是有界变差函数.

A、错误

B、正确

22.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。

A、错误

B、正确

23.若f有界且m(X)<∞,则f可测。

A、错误

B、正确

24.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。

A、错误

B、正确

25.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.

A、错误

B、正确

26.可数集的测度必为零，反之也成立.

A、错误

B、正确

27.f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.

A、错误

B、正确

28.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.

A、错误

B、正确

29.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

A、错误

B、正确

30.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.

A、错误

B、正确

31.f可积的充要条件:|f|可积。

A、错误

B、正确

32.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.

A、错误

B、正确

33.若f可测，则|f|可测，反之也成立.

A、错误

B、正确

34.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。

A、错误

B、正确

35.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.

A、错误

B、正确

36.零测度集的任何子集都是可测集.

A、错误

B、正确

37.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f’∈L1[a,b].

A、错误

B、正确

二、单选题(共5题，10分)

1.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的

A、连续函数

B、单调函数

C、有界变差函数

D、绝对连续函数

2.若|A|=|B|,|C|=|D|,则

A、|A∪C|=|B∪D|

B、|A∩C|=|B∩D|

C、|A\C|=|B\D|

D、当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|

3.若f∈L(X),则

A、f在X上几乎处处连续

B、存在g∈L(X)使得|f|<=g

C、若∫Xfdu=0,则f=0,a.e.

4.有限个可数集的乘积集是（ ）

A、有限集

B、可数集

C、有连续统势的集

D、基数为2^c的集

5.下列关系式中不成立的是（ ）

A、f(∪Ai)=∪f(Ai)

B、f∩(Ai)=f(∩Ai)

C、(A∩B)0=A0∩B0

D、(∪Ai)c=∩(Aic)

三、多选题(共8题，16分)

1.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）

A、m(A)<m(B)

B、m(A)<=m(B)

C、m(B\A)=m(A)

D、m(B)=m(A)+m(B\A)

2.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）

A、f在R上处处不连续

B、f在R上为可测函数

C、f几乎处处连续

D、f不是可测函数

3.若f,g是有界变差函数，则（ ）

A、f+g有界变差函数

B、fg有界变差函数

C、f/g有界变差函数

D、max(f,g)有界变差函数

4.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）

A、f可测

B、|f|可积

C、f^2可积

D、|f|<∞.a.e.

5.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是

A、是L可测函数

B、不是L可测函数

C、有界函数

D、连续函数

6.若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）

A、f+g不可测

B、fg不可测

C、g^2可测

D、|g|可测

7.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）

A、f^-1(f（A）)=A

B、f^-1(f（A）)包含A

C、f(f^-1（A）)=A

D、f(A\B)包含f(A)\f(B)

8.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）

A、fn测度收敛于|f|

B、afn+bgn测度收敛于af+bg

C、(fn)^2测度收敛于f^2

D、fngn测度收敛于fg

奥鹏，国开，广开，电大在线，各省平台，新疆一体化等平台学习
详情请咨询QQ : 3230981406或微信:aopopenfd777