福师《实变函数》在线作业一
共50道题 总分：100分
一、判断题(共37题，74分)
1.f∈BV，则f几乎处处可微，且f’∈L1[a,b].
A、错误
B、正确
2.当f在[a,b]上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等.
A、错误
B、正确
3.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A、错误
B、正确
4.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
A、错误
B、正确
5.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
A、错误
B、正确
6.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A、错误
B、正确
7.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A、错误
B、正确
8.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A、错误
B、正确
9.若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。
A、错误
B、正确
10.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A、错误
B、正确
11.测度为零的集称为零测集.
A、错误
B、正确
12.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
13.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A、错误
B、正确
14.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A、错误
B、正确
15.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A、错误
B、正确
16.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
A、错误
B、正确
17.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A、错误
B、正确
18.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A、错误
B、正确
19.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A、错误
B、正确
20.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A、错误
B、正确
21.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A、错误
B、正确
22.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A、错误
B、正确
23.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
A、错误
B、正确
24.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A、错误
B、正确
25.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A、错误
B、正确
26.g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A、错误
B、正确
27.连续函数和单调函数都是有界变差函数.
A、错误
B、正确
28.绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A、错误
B、正确
29.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
30.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A、错误
B、正确
31.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A、错误
B、正确
32.若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A、错误
B、正确
33.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A、错误
B、正确
34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
A、错误
B、正确
35.有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A、错误
B、正确
36.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A、错误
B、正确
37.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A、错误
B、正确
二、单选题(共5题，10分)
1.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、非充分非必要条件
2.开集减去闭集其差集是（ ）
A、闭集
B、开集
C、非开非闭集
D、既开既闭集
3.下列关系式中不成立的是（ ）
A、f(∪Ai)=∪f(Ai)
B、f∩(Ai)=f(∩Ai)
C、(A∩B)0=A0∩B0
D、(∪Ai)c=∩(Aic)
4.fn->f,a.e.,则
A、fn依测度收敛于f
B、fn几乎一致收敛于f
C、fn一致收敛于f
D、|fn|->|f|,a.e.
5.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A、连续函数
B、单调函数
C、有界变差函数
D、绝对连续函数
三、多选题(共8题，16分)
1.若f∈AC[a,b]，则（ ）
A、f∈C[a,b]
B、f∈BV[a,b]
C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt
D、f∈Lip[a,b]
2.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A、f为有界函数
B、Vax(f)为增函数
C、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D、f至多有可数个第一类间断点
3.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A、有L积分值
B、广义R可积
C、L可积
D、积分具有绝对连续性
4.若f,g是有界变差函数，则（ ）
A、f+g有界变差函数
B、fg有界变差函数
C、f/g有界变差函数
D、max(f,g)有界变差函数
5.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
A、广义R可积
B、不是广义R可积
C、L可积
D、不是L可积
6.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A、g可积
B、g可测
C、g<∞，a.e.
D、当g可测时g必可积
7.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A、m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B、若E1包含于E2,mE1<=mE2
C、若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
8.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A、f可测
B、|f|可积
C、f^2可积
D、|f|<∞.a.e.
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