福师《实变函数》在线作业一
共50道题 总分：100分
一、判断题(共37题，74分)
1.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
A、错误
B、正确
2.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
3.f∈BV，则f有“标准分解式”:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A、错误
B、正确
4.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
A、错误
B、正确
5.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A、错误
B、正确
6.f可积的充要条件:|f|可积。
A、错误
B、正确
7.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A、错误
B、正确
8.增函数f在[a,b]上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点.
A、错误
B、正确
9.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A、错误
B、正确
10.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A、错误
B、正确
11.一致收敛的绝对连续函数序列的极限函数也是绝对连续函数.
A、错误
B、正确
12.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
A、错误
B、正确
13.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
A、错误
B、正确
14.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
A、错误
B、正确
15.若f,g是增函数，则f+g,f-g,fg也是增函数。
A、错误
B、正确
16.三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。
A、错误
B、正确
17.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A、错误
B、正确
18.存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．
A、错误
B、正确
19.零测度集的任何子集都是可测集.
A、错误
B、正确
20.有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞
A、错误
B、正确
21.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|>=n)]之和收敛.
A、错误
B、正确
22.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A、错误
B、正确
23.若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A、错误
B、正确
24.可数集的测度必为零，反之也成立.
A、错误
B、正确
25.对R^n中任意点集E，E\E’必为可测集.
A、错误
B、正确
26.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
A、错误
B、正确
27.无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.
A、错误
B、正确
28.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
A、错误
B、正确
29.若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集.
A、错误
B、正确
30.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
A、错误
B、正确
31.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
A、错误
B、正确
32.若f∈C1[a,b]（连续可微）,则f∈Lip[a,b]，f∈AC[a,b].
A、错误
B、正确
33.闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A、错误
B、正确
34.函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A、错误
B、正确
35.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
A、错误
B、正确
36.f∈BV，则f几乎处处可微，且f’∈L1[a,b].
A、错误
B、正确
37.若f∈BV,则f有界。
A、错误
B、正确
二、单选题(共5题，10分)
1.若|A|=|B|,|C|=|D|,则
A、|A∪C|=|B∪D|
B、|A∩C|=|B∩D|
C、|A\C|=|B\D|
D、当A或C为无限集时，|A∪C|=|B∪D|
2.fn∈L(E),则fn->0,a.e.是∫Efndx->0（ ）
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、非充分非必要条件
3.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A、连续函数
B、单调函数
C、有界变差函数
D、绝对连续函数
4.开集减去闭集其差集是（ ）
A、闭集
B、开集
C、非开非闭集
D、既开既闭集
5.若A为R^n中一疏集，则（ ）
A、Ac为稠集
B、A为开集
C、A为孤立点集
D、A不完备
三、多选题(共8题，16分)
1.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A、m(A)<m(B)
B、m(A)<=m(B)
C、m(B\A)=m(A)
D、m(B)=m(A)+m(B\A)
2.设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A、几乎处处可微
B、L可积
C、f’可积
D、区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
3.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A、fn测度收敛于|f|
B、afn+bgn测度收敛于af+bg
C、(fn)^2测度收敛于f^2
D、fngn测度收敛于fg
4.若0<=g<=f且f可积，则（ ）
A、g可积
B、g可测
C、g<∞，a.e.
D、当g可测时g必可积
5.f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上
A、有L积分值
B、广义R可积
C、L可积
D、积分具有绝对连续性
6.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A、是L可测函数
B、不是L可测函数
C、有界函数
D、连续函数
7.若f∈AC[a,b]，则（ ）
A、f∈C[a,b]
B、f∈BV[a,b]
C、f(x)=f(a)+∫ax f ‘(t)dt
D、f∈Lip[a,b]
8.设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A、有界函数
B、可测函数
C、有界变差函数
D、绝对连续函数
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