福师《实变函数》在线作业二-0004
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 37 道试题,共 74 分)
1.不存在这样的函数f：在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
2.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|<=g.
3.对R^n中任意点集E，E\E'必为可测集.
4.当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x->+∞}f(x)=0.
5.若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).
6.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.
7.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
8.若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.
9.f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigma-有限测度。
10.设f:R->R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
11.f为[a,b]上减函数，则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .
12.对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
13.若f有界且m(X)<∞,则f可测。
14.设f为[a,b]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.
15.积分的四条基本性质构成整个积分论的基础，而其导出性质是基本性质的逻辑推论。
16.L积分下Newton-leibniz公式成立的充要条件是被积函数为绝对连续函数。
17.f在[a,b]上为增函数，则f的导数f'∈L1[a,b].
18.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
19.存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdx<f(b)-f(a) .
20.若f,g∈BV，|g|>c>0,则f/g属于BV。
21.若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
22.若f,g∈BV，则f/g(g不为0)属于BV。
23.f可积的充要条件是f+和f-都可积.
24.若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
25.f∈BV，则f几乎处处可微，且f'∈L1[a,b].
26.测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
27.若f∈BV,则f有界。
28.若A交B等于空集，则A可测时必B可测.
29.一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
30.利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：几乎处处可微而且导函数可积。
31.集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
32.f可积的充要条件:|f|可积。
33.若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.
34.三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
35.L积分比R积分更广泛，且具有优越性。
36.若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
37.若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
二、单选题 (共 5 道试题,共 10 分)
38.有限个可数集的乘积集是（ ）
A.有限集
B.可数集
C.有连续统势的集
D.基数为2^c的集
39.下列关系式中不成立的是（ ）
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
C.(A∩B)0=A0∩B0
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
40.开集减去闭集其差集是（ ）
A.闭集
B.开集
C.非开非闭集
D.既开既闭集
41.在（ ）条件下，E上的任何广义实函数f(x)都可测.
A.mE=0
B.0<mE<+∞
C.mE=+∞
D.0<=mE<=+∞
42.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A.连续函数
B.单调函数
C.有界变差函数
D.绝对连续函数
三、多选题 (共 8 道试题,共 16 分)
43.设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A.是L可测函数
B.不是L可测函数
C.有界函数
D.连续函数
44.若f(x)为Lebesgue可积函数，则（ ）
A.f可测
B.|f|可积
C.f^2可积
D.|f|<∞.a.e.
45.A，B是两个集合，则下列正确的是（ ）
A.f^-1(f（A）)=A
B.f^-1(f（A）)包含A
C.f(f^-1（A）)=A
D.f(A\B)包含f(A)\f(B)
46.若A 和B都是R中开集，且A是B的真子集，则（ ）
A.m(A)<m(B)
B.m(A)<=m(B)
C.m(B\A)=m(A)
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
47.设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）
A.fn测度收敛于|f|
B.afn+bgn测度收敛于af+bg
C.(fn)^2测度收敛于f^2
D.fngn测度收敛于fg
48.设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则
A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
B.若E1包含于E2,mE1<=mE2
C.若E1包含于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
49.在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ）
A.f在R上处处不连续
B.f在R上为可测函数
C.f几乎处处连续
D.f不是可测函数
50.若f∈BV[a,b]，则（ ）
A.f为有界函数
B.Vax(f)为增函数
C.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D.f至多有可数个第一类间断点
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